Finiquitos encadenados

Tengo una confesión laboral. Más bien es una duda que quisiera que alguien de buena voluntad y que sepa me oriente.

Estoy trabajando en un colegio haciendo un reemplazo por enfermedad de larga data. El problema es que me hicieron un contrato por reemplazo a plazo según cuánto dure cada licencia médica, firmo anexos cada vez que presenta una nueva. Durante las vacaciones de invierno me enviaron un finiquito por término de contrato por lo antes mencionado, sin embargo, sigo con trabajo porque firmé anexo. Me dijeron que cada vez que se termine una licencia me van a finiquitar, eso es variable puede ser de un, mes, quince días u once.

Es eso legal? Pueden finiquitarme tantas veces? Debería firmar un contrato cada vez o anexo de contrato está bien? Sorry por tantas preguntas, pero es primera vez que me pasa ésto, he hecho reemplazos en otros colegios, pero sin finiquito de por medio. Me imagino que con ésto pierdo antigüedad y no me reconocen vacaciones ni bonos de fin de año. Estoy desde abril hasta la fecha.

Me perjudica ésto laboralmente o para posteriores trabajos?

Disculpen la lata y agradezco sus respuestas.